"Introduction to Flow Matching and Diffusion Models" のメモ

Sat, 28 Feb 2026 11:34:21 +0900

はじめに

「Introduction to Flow Matching and Diffusion Models」(MIT IAP 2026) のコース資料を基にフローマッチングと拡散モデルについて勉強した際の日本語メモです。

生成モデルとSDE

データ分布からのサンプリング = “生成”

$$ z_\text{new} \sim p_\text{data} $$

データ分布 $p_\text{data}$ の確率密度は未知

$$ p_\text{data}: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}, \\ z \mapsto p_\text{data}(z) $$

条件付き生成 = 条件付き確率分布からのサンプリング

条件ベクトル $y$ を用いて

$$ z_\text{new} \sim p_\text{data}(\cdot|y) $$

ピカール・リンデレフの定理

ベクトル場 $u_t = u_t(x)$ について $u$ が $x$ について連続微分可能であるなら初期値条件 $X_0=x_0$ を満たす常微分方程式

$$ \frac{\text{d}}{\text{dt}}X_t = u_t(X_t) $$

の解は一意に存在する。

ベクトル場

空間中の1点 $\bold{r}$ を指定すると $\bold{r}$ の関数としてベクトルが1つ決まるような関数。

例

$u_t(x) = -\theta x$ のときを考えると常微分方程式 $\frac{\text{d}}{\text{dt}}X_t = u_t(X_t)$ の解は、$X_t = Ce^{-\theta t}$ となる。初期条件 $X_0=x_0$ より $C=x_0$ だから $X_t = x_0e^{-\theta t}$