はじめに
『新しい量子化学: 電子構造の理論入門 (上)』のメモです。1.2・1.3節の内容(直交関数・固有関数・演算子・変分法)についてです。
1.2 直交関数・固有関数・演算子
Dirac のデルタ関数
演習問題1.14・1.18を解く際に使います。
$$ a(0) = \int dx'a(x')\delta(x') \tag{1.123} $$2つの関数のスカラー積
関数 $a(x)$ について、$a(x) \equiv |a\rangle$ および $a^*(x) \equiv \langle a|$のように書くことで、2つの関数のスカラー積を次のように定義できます。
$$ \int dx \space a^*(x)b(x) = \langle a | b \rangle \tag{1.128} $$1.3 変分法
1.3.1 変分原理
規格化された波動関数 $|\tilde{\Phi}\rangle$ が与えられたときはミルトニアンの期待値は真の基底状態のエネルギーの上界となります。
$$ \langle\tilde{\Phi}|\mathcal{H}|\tilde{\Phi}\rangle \ge \mathcal{E}_0 \tag{1.149} $$1.3.2 線型変分法
固有値問題 $\mathcal{H}|\tilde{\Phi}\rangle = \mathcal{E}|\tilde{\Phi}\rangle$ に対してあらかじめ規格直交関数の組 $\{|\Psi_i\rangle\} (i=1,\space \cdots, \space N)$ が与えられているときに、それらの基底における演算子 $\mathcal{H}$ の表現行列 $(\bold{H})_{ij} = \langle \Psi_i | \mathcal{H} | \Psi_j \rangle$ を作り、その固有値問題を解く方法です。
演習問題の答案
間違いも含まれていると思いますが、演習問題1.14 - 1.17, 1.18 - 1.22の答案をそれぞれ以下に載せています。